Софт

X-1 3

Рейтинг: 4.8/5.0 (527 проголосовавших)

Категория: Windows: Редакторы

Описание

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения.

- Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

- Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2 )

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2 )

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

X-1 3:

  • скачать
  • скачать
  • Другие статьи, обзоры программ, новости

    Нерешённая проблема 3x 1

    Задачу не могут решить уже 80 лет

    Насколько сложной может быть задача, составленная на материале начальной школы: сложении, умножении, делении и чётности/нечётности числа?

    Оказывается, более 70 лет назад Лотарем Коллатцем сформулирована так называемая проблема «3x+1», над которой бились математики лучших университетов мира, потрачены миллионы часов машинного времени, но никакие усилия к окончательному решению не привели.

    В то же время понять условие этой задачи может даже первоклассник. Оно звучит так:

    Возьмём какое-нибудь натуральное число. Далее, если число чётное, разделим его на 2, а если нечётное – умножим на 3 и прибавим 1. Затем будем выполнять эти действия с полученным числом. Например, вот что будет происходить, если начать с пятёрки.

    5 –>3*5+1=16 –>16/2=8 –> 8/2=4 –>4/2=2 –> 2/2=1 –>1*3+1=4 Круг замкнулся. Теперь мы будем постоянно получать значения 1 –4 – 2.

    Требуется узнать, существует ли такое число, начав с которого не скатишься к единице?:

    Современная математика не в силах дать ответ на такой, казалось бы, простой вопрос. Даже недавно доказанная великая теорема Ферма – и та формулируется с использованием возведения в степень и целых четырёх переменных. А для задачи 3x+1 на сегодня достоверно известно, что последовательность приходит в единице для всех не более чем девятнадцатизначных чисел, но в общем случае это ничего не доказывает. Есть даже предположение, что проблема 3x+1 – одно из так называемых «недоказуемых» утверждений, существование которых следует из теоремы Гёделя о неполноте.

    Однако проследить за поведением отдельных чисел при таком преобразовании – cамо по себе интересное математическое развлечение. Берём число и начинаем из него по приведённому правилу начинаем получать следующие. Попутно можно замечать, до какого максимума удалось подняться и сколько шагов придётся сделать, пока не придём к единице.

    Чтобы не щёлкать калькулятором, можно сделать для вычислений таблицу в Excel'е. Создаём новый документ. В ячейку А1 будем вводить число, а в ячейку А2 введём формулу:

    =ЕСЛИ(ОСТАТ(A1;2)=0;A1/2;3*A1+1)

    В формуле проверяется чётность числа в ячейке А1 и в зависимости от исхода проверки оно либо делится на 2, либо утраивается и прибавляется единица. Затем эту формулу с помощью автозаполнения копируем в остальные ячейки столбца А (для начала можно в первые 200, а там по необходимости продлим). Таблица готова, можно начинать экспериментировать. Советую попробовать ввести число 27. После 77 шагов достигается рекордная для чисел первых пяти сотен отметка: 9232. Однако затем следует сокрушительный обвал – 4 уполовинивания подряд, и в конечном итоге, через 34 шага после пика мы опять-таки приходим к единице.

    Однако чтобы анализировать большое количество данных лучше написать программу, что я, собственно, и сделал. Вы вводите, для какого количества натуральных чисел хотели бы получить статистику, и программа выдаёт для каждого наибольшее достигаемое значение и число шагов до единицы. Результаты находятся в файле results.txt.  Рекомендуется не вести расчёт больше чем для 50 миллионов чисел.

    При анализе статистики также возникают интересные вопросы. К примеру, рассмотрим 7 последовательных чисел:

    Решатель примеров онлайн

    Решатель примеров онлайн

    Введите в форму ниже уравнение, функцию или неравенство и подобное и нажмите Enter

    Синтаксис программы:

    Чтобы построить график функции, необходимо использовать оператор plot. например plot x^3-6x^2+4x+12 или plot sin x + cos (sqrt(3)x)

    График функции с заданной областью определения plot e^x from x=0 to 10

    График функции двух переменных с заданной областью определения plot x^2 y^3, x=-1..1, y=0..3

    График функции в полярных координатах polar plot r=theta, theta=0 to 8 pi

    График параметрической функции parametric plot (cos^3 t, sin^3 t)

    Обыкновенные уравнения: x 4 +2x 3 +3=0 записывается так x^4+2x^3+3=0

    3 + 2x 2 + 3 = 0, 3х=0

    Чтобы решить уравнение с параметром, необходимо использовать оператор solve. Например: 2x 3 +ax+6=0 решаем относительно x, тогда запись будет такой solve 2x^3+ax+6=0 for x

    Тригонометрические уравнения: sin x + cos x = 1

    Система линейных уравнений записывается через запятую: x+y=10, x-y=4

    Разложение элементарной дроби partial fractions (x^2-4)/(x^4-x)

    Чтобы разложить выражение на множители, используем оператор factor. например factor x^3-2x+1 приведёт выражение к (x – 1)(x 2 +x +1).

    Оператор expand раскроет скобки и разложит выражение, например expand (x – 1)(x2+x+1) приведёт выражение к x 3 -2x +1.

    Оператор partial fractions разложит отношение многочленов в сумму простейших дробей.

    minimize минимизирует функцию, а maximize максимизирует

    Число «Пи» записывается, как pi

    Команда series раскладывает функцию в ряд, например: taylor series sinx at x=0 даст нам разложение функции sin(x) в ряд Тейлора в точке x=0

    Производные и интегралы

    Чтобы найти предел, необходимо в начале функции подставить lim. а после записать саму функцию, в конце указать к чему стремится предел: as-> далее число (бесконечность записывается infinity). Пример: lim (x+2)/(x^2) as x->infinity

    derivative или d/dx - производная. Чтобы найти вторую производную нужно написать перед функцией second derivative или d2/dx2 и так далее

    Неопределённый интеграл ищется с помощью оператора integrate. который необходимо записать перед функцией. Для определённого интеграла указываются пределы интегрирования: integrate 1/x^2 from x=1 to x=2

    Операции с числами

    Возведение в степень. Так 7 8 записывается как 7^8

    Оператор factor раскладывает число на множители

    ! выводит факториал, например 123!

    Оператор gcd выводит наибольший общий делитель, например gcd 164, 88 выводит наибольший общий делитель чисел 164 и 88

    Решение квадратных уравнений, онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений

    Решение квадратных уравнений онлайн

    Квадратное уравнение - уравнение второго порядка, вида , где не равно 0. Значение переменной называется корнем квадратного уравнения, если при ее подстановке уравнение обращается в верное равенство. Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 корней в зависимости от значения дискриминанта. Корни могут получиться как вещественными, так и комплексными.

    Решение квадратного уравнения происходит в два этапа.

    1) Вычисляется дискриминант уравнения по формуле:

    2) В калькуляторе корни квадратного уравнения находятся по формуле:

    Если Вам надо поставить минус, то введите отрицательный коэффициент.

    Также внизу страницы Вы можете прочитать полные правила ввода данных, ответы на часто задаваемые вопросы и оставить свой комментарий.

    Методы решения систем линейных неравенств

    Методы решения систем линейных неравенств

    Математика, Методы решения систем линейных неравенств. Работа Курсовая. то max (f )=+. [pic] В нашем примере прямая f =a пересевает область ABCDE в точке С(4;1). Поскольку это последняя точка пересечения, max (f )=f (C)=f (4;1).

    F +4X1+X2 =4 >min |Б |X1 |X2 |X3 |X4 |Y1 |С | |Y1 |4 |1 |0 |0 |1 |4 | |X4 |11 |3 |-5 |-1 |0 |12 | |F |4 |1 |0 |0 |0 |4 | Выбираем элемент в ячейке (3;2).

    Экономико-математическое моделирование, Количественные методы в управлении, Курсовая P(x1 ,x2 ,x3 ,x4 ) =48*x1 +30*x2 +29*x3 +10*x4 --> max 3*x1 + 2*x2 + 4*x3 + 3*x4 <=198 2*x1 + 3*x2 + 1*x3 + 2*x4 <= 96 6*x1 + 5*x2 + 1*x3 + 0*x4 <=228 x1 ,x2 ,x3 ,x4 >=0 Для.

    min AX<=B, X>=0 YA>=C, Y>=0 P= 48*x1 +30*x2 +29*x3 +10*x4 -->max S= 198*y1+96*y2+228*y3 -->min 3*x1 +2*x2 +4*x3 +3*x4 <=198 3*y1+2*y2+6*y3>=48 2*x1 +3*x2 +1*x3.

    Математика, Прикладная математика, Курсовая. x1 =0, x2 =0, x3 =0, x4 =0, x5=208, x6=107, x7=181 (13) первые четыре компоненты которого определяют производственную программу x1 =0, x2 =0, x3 =0, x4 =0 (14.

    c + h2y3 + F1(y2)| |0 ( y3 ( 4 |( = y3 |0 ( x2 ( 2 + y3 |x2 |y2 = y3 + 3 - x2 |[pic] | | |y3 = 0 |0 ( x2 ( 2 |x2 = 0|y2 = 2-0 = 2 |(2(0;0) = 02 + 5(0.

    Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач

    и комп-ры, Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач, Курсовая. значение функции. max F = max ( 2x1 + 3x2 ) при наличии ограничений. x1 + 5x2 ( 10 ; 3x1 + 2x2 ( 12 ; 2x1 + 4x2 ( 10. x1 ( 0 ; x2 ( 0. 3.2 Решение.

    10 ; x1 = 0, x2 = 2 ; x1 = 10, x2 = 0. 2). 3x1 + 2x2 ( 12 ; x1 = 0, x2 = 6 ; x1 = 4, x2 = 0. 3). 2x1 + 4x2 ( 10 ; x1 = 0, x2 = 2.5 ; x1 = 5, x2 = 0.

    Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач

    и комп-ры, Использование табличного симплекс-метода для решения задач линейного программирования для оптимизации экономических задач, Курсовая. значение функции. max F = max ( 2x1 + 3x2 ) при наличии ограничений. x1 + 5x2 ( 10 ; 3x1 + 2x2 ( 12 ; 2x1 + 4x2 ( 10. x1 ( 0 ; x2 ( 0. 3.2 Решение.

    10 ; x1 = 0, x2 = 2 ; x1 = 10, x2 = 0. 2). 3x1 + 2x2 ( 12 ; x1 = 0, x2 = 6 ; x1 = 4, x2 = 0. 3). 2x1 + 4x2 ( 10 ; x1 = 0, x2 = 2.5 ; x1 = 5, x2 = 0.

    Линейное и динамическое программирование

    Математика, Линейное и динамическое программирование, Курсовая. x7=228 xj?0, jєN7 Таблица N 1 |C |B |H |48 |30 |29 |10 |0 |0 |0 | | | | |x1 |x2 |x3 |x4 |x5 |x6 |x7 | |0 |x5 |198 |3 |2 |4 |3 |1 |0 |0 | |0 |x6 |96

    Ax?b, x?0 Ya?c, y?0, L(x1 ,x2 ,x3 ,x4 )=48xl+30x2+29x3+10x4 (max Z(y1,y2,y3,y4)=198yl+96y2+228y3 ( min 3х1+2х2+4х3+3х4?198 3y1+2y2+6y3?48 2х1+3х2+1х3+2х4.

    Математика, Экстремумы функций, Диплом. x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 -<0. - >0 x2 x2 y2 x y 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 -. -- x2 x2 z2 y z.

    имеет минимум, если 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 ->0. - >0 x2 x2 y2 x y 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2 f (x0,y0,z0) 2.

    Экономико-математическое моделирование, Компьютерное математическое моделирование в экономике, Курсовая. 7.88) Найдем из системы (7.86) значения базисных неизвестных (7.89) Полученное таким образом допустимое решение отвечает базису x1. x2. хr, т.е.

    невозможно, так как в этом базисе x1 = О, х2 = 0. Таким образом, данное базисное решение является оптимальным, и min f = (1 при x1 = О, х2 = 0, хз = 1.

    Решение оптимизационной задачи линейного программирования [нестрогое соответствие ]

    Математика, Решение оптимизационной задачи линейного программирования. Работа Курсовая X1 + X2 + X3 ( 8; X4 + X5 + X6 ( 8; 2(5X1 + 15X4) = 5X2 + 15X5; 2(5X1 + 15X4) = 10X1 + 10X6; X1. X2. X3. X4. X5. X6 ?

    обе части ограничений на комплектацию деталей на 5: X1 + X2 + X3 + X7 = 8; X4 + X5 + X6 + X8 = 8; 2X1 - X2 + 6X4 - 3X5 = 0; 2X1 - 2X3 + 6X4 - 2X6 =0;.

    Математика, Конспект лекций по дискретной математике, Лекция. 1) Аналитическая: _ _ y=(x1 ( x2 ) x3 _. _ y=x1 x2 x3 ( x1 x2 x3 ( x1 x2 x3 2) Табличная: |. | |x1 |x2 |x3 |x1 ( x2 |y | |0 |0 |0 |1 |1 | |0 |0.

    Логический ноль |+ |- | |[pic] |0 |0 |0 |1 |x1 &x2 |Конъюнкция |- |x1 x2 | |[pic] |0 |0 |1 |0 |x1 (x2 |Запрет x1 по x2 |- |x1 [pic]2 | |[pic] |0 |0 |1.

    Тригонометрические уравнения

    Тригонометрические уравнения

    В этой главе был получен ряд важных тригонометрических тождеств. Сейчас на конкретных примерах мы покажем, как эти тождества можно использовать для решения тригонометрических уравнений.

    Пример 1. Решить уравнение

    Поэтому данное уравнение можно переписать в виде:

    Обозначив tg x через у. мы приходим к алгебраическому уравнению

    y (1—y) + 1+ y = —2(1—у).

    y = ± \/ 3 .

    Итак, либо tg x = \/ 3 и тогда х = π /3 + nπ. либо tg x = — \/ 3 и тогда х = — π /3 + kπ. где n и k — любые целые числа. Обе эти группы решений можно представить одной формулой х = ± π /3 + nπ

    Ответ . х = ± π /3 + nπ

    Пример 2. Решить уравнение

    3 cos 2x = 7 sin x.

    Представим cos 2x как cos 2 x — sin 2 x. Тогда данное уравнение можно записать в виде:

    3 (cos 2 x — sin 2 x) =7 sin x.

    Заменяя cos 2 x на 1 —sin 2 x. получаем:

    3 (1 —2 sin 2 x) = 7 sin x.

    Обозначая sin x через у. приходим к следующему квадратному уравнению:

    Вспоминая, что у = sin x. получаем: либо sin x = 1 /3 . либо sin x = 3 /2 . Но второе невозможно: синус любого угла по абсолютной величине не превышает единицы. Поэтому sin x = 1 /3 .

    2sin 2 x + cos 2 x = 3 /2 sin 2x

    Представив sin 2x в виде 2sin x cos x. придем к однородному уравнению

    2sin 2 x + cos 2 x = 3 sin x cos x.

    Разделив обе части этого уравнения на cos 2 x. получим.

    2 cos x /2 (cos x /2 + sin x /2 ) = 0.

    Если cos x /2 = 0. то x /2 = π /2 + и, следовательно, х = π + 2nπ.

    Если cos x /2 + sin x /2 =0 (однородное уравнение), то 1 + tg x /2 = 0, откуда

    Ответ. х = π + 2nπ. х = — π /2 + 2kπ ; где n и k — любые целые числа.

    Перепишем данное уравнение в виде cos 2х — cos 6х = 0 и используем формулу для разности косинусов двух углов. В результате получим:

    — 2 sin 3х • sin (— х) = 0;

    2 sin 3х • sin х = 0.

    Поэтому либо sin х = 0 и тогда х = . либо sin 3х = 0 и тогда 3x = kπ. x = kπ /3 .

    Очевидно, что обе группы корней можно записать одной формулой x = mπ /3

    Пример 7. Решить уравнение

    tg 3х — tg x = 0 .

    Используя формулу для разности тангенсов двух углов, получаем:

    откуда sin 2х = 0. = ; х = mπ /2 . Из этих значений х нужно отбросить как посторонние те, при которых хотя бы одно из выражений cos 3х и cos x обращается в нуль.

    Выражение cos x обращается в нуль при х = π /2 + . Поэтому из полученных ранее значений х = mπ /2 остаются лишь значения х = .

    Выражение cos 3х обращается в нуль при условии, что = π /2 + или

    х = π /6 + kπ /3 = π /6 (2k + 1). Число (2k + 1) нечетное, а число 6 четное. Поэтому число (2k + 1) /6 не может быть целым и, следовательно, значения х = (2k + 1)π /6 не содержатся среди значений х = .

    Таким образом, все числа вида х = являются корнями данного уравнения.

    Пример 8. Решить уравнение

    sin 2 2х + sin 2 x = 1.

    Из тождества 1 — cos α = 2 sin 2 α /2 вытекает, что

    Поэтому данное уравнение можно переписать в виде:

    откуда cos 4х + cos 2x = 0.

    Это уравнение легко решается с помощью формулы для суммы косинусов двух углов, из которой получаем:

    2 cos 3x • cos x = 0.

    Если cos х = 0. то х = π /2 + если же cos 3x = 0. то 3x = π /2 +

    откуда х = π /6 + kπ /3 . Нетрудно понять, что вторая группа корней (х = π /6 + kπ /3 ) при k = 3n + 1 содержит в себе все корни первой группы (х = π /2 + ) Поэтому ответ к данной задаче можно выразить одной формулой: х = π /6 + kπ /3 .

    Пример 9. Решить уравнение

    sin х — \/ 3 cos х = 1 .

    Преобразуем выражение sin х — \/ 3 cos х. введя вспомогательный угол.

    Теперь данное уравнение можно записать в виде:

    2 sin ( x — π /3 ) = 1

    откуда sin ( x — π /3 ) = 1 /2 и, следовательно, x — π /3 = (— 1) n π /6 + nπ ;

    x = π /3 + (— 1) n π /6 + nπ

    Ответ. x = π /3 + (— 1) n π /6 + nπ

    Системы линейных уравнений общего вида

    5.5. Системы линейных уравнений общего вида

    Если система

    .     .     .     .

    оказалась совместной, т. е. матрицы системы A и матрица расширенной матрицы системы (со столбцом свободных членов) ` A имеют один и тот же ранг, то могут представиться две возможности - a) r = n;   б) r < n:

    а) если r = n, то имеем n независимых уравнений с n неизвестными, причем определитель D этой системы отличен от нуля. Такая система имеет единственное решение, получаемое по формулам Крамера ;

    б) если r < n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

    Перенесем лишние неизвестные x r+1. x r+2. xn. которые принято называть свободными, в правые части; наша система линейных уравнений примет вид:

    .     .     .     .     .     .     .     .     .     .

    Ее можно решить относительно x1. x2. xr. так как определитель этой системы (r-го порядка) отличен от нуля. Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения, получим по формулам Крамера соответствующие числовые значения для x1. x2. xr. Таким образом, при r < n имеем бесчисленное множество решений.

    Система (5.1) называется однородной. если все bi = 0, т. е. она имеет вид:

    a21 x1 + a22 x2 +. + a2n xn = 0,                                     (5.5)

    .     .     .     .     .     .

    am1 x1 + am1 x2 +. + amn xn = 0.

    Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может повысить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно - система (5.5) заведомо обладает нулевым, или тривиальным, решением x1 = x2 =. = xn = 0. Пусть матрица А системы (5.5) имеет ранг r.

    Если r = n, то нулевое решение будет единственным решением системы (5.5); при r < n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений.

    Всякий ненулевой вектор - столбец X = (x1. x2. xn ) T называется собственным вектором линейного преобразования (квадратной матрицы A), если найдется такое число l. что будет выполняться равенство

    Число l называется собственным значением линейного преобразования (матрицы A), соответствующим вектору X. Матрица A имеет порядок n.

    В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Доказано, что матрица A является продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы.

    Для нахождения собственных значений матрицы A перепишем равенство AX = l X в виде (A - l E)X = 0, где E- единичная матрица n-го порядка или в координатной форме:

    (a11 - l )x1 + a12 x2 +. + a1n xn =0,

    a21 x1 + (a22 - l )x2 +. + a2n xn = 0,

    .   .   .   .   .   .   .   .                                               (5.6)

    an1 x1 + an2 x2 +. + (ann - l )xn = 0.

    Получили систему линейных однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.

    Получили уравнение n-ой степени относительно неизвестной l. которое называется характеристическим уравнением матрицы A, многочлен  называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни - характеристическими числами, или собственными значениями, матрицы A.

    Для нахождения собственных векторов матрицы A в векторное уравнение (A - l E)X = 0 или в соответствующую систему однородных уравнений (5.6) нужно подставить найденные значения l и решать обычным образом.

    Пример 2.16. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.

    x1 +  x2 - 2x3 -   x4 +   x5 =1,

    3x1 -   x2 +  x3 + 4x4 + 3x5 =4,

    x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 +   x5 =0.

    Решение. Будем находить ранги матриц A и ` A методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:

    Очевидно, что r(A) = r( ` A) = 2. Исходная система равносильна следующей, приведенной к ступенчатому виду:

    x1 + x2 -  2x3 -    x4 + x5 = 1,

    - 4x2 + 7x3 + 7x4         = 1.

    Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных и переписать систему в виде:

    x1 + x2 =   2x3 +   x4 - x5 + 1,

    - 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,

    откуда x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4, x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4 - общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3. x4. x5 конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0 x1 = 5/4, x2 = - 1/4. Вектор C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.

    Пример 2.17. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.

    2x1 -   x2 +   x3 +     x4 = 1,

    x1 + 2x2 -   x3 +   4x4 = 2,

    x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.

    Решение. Данной системе соответствует матрица ` . Имеем ` А

      следовательно, исходная система равносильна такой:

    x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,

    5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

    Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в этом случае имеет вид:

    Пример 2.18. Выяснить, будет ли линейно зависимой система векторов:

                                                        a 1 = (1, 1, 4, 2),

                                                        a 2 = (1, -1, -2, 4),

                                                        a 3 = (0, 2, 6, -2),

                                                        a 4 = (-3, -1, 3, 4),

                                                        a 5 = (-1, 0, - 4, -7).

    Решение. Система векторов является линейно зависимой, если найдутся такие числа x1. x2. x3. x4. x5 , из которых хотя бы одно отлично от нуля

    В координатной записи оно равносильно системе уравнений:

    x1 +  x2 -          3x4 -   x5 = 0,

    x1 -   x2 + 2x3 -   x4          = 0,

    4x1 - 2x2 + 6x3 +3x4 - 4x5 = 0,

    2x1 + 4x2 - 2x3 + 4x4 - 7x5 = 0.

    Итак, получили систему линейных однородных уравнений. Решаем ее методом исключения неизвестных:

    Система приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен 3, значит, однородная система уравнений имеет решения, отличные от нулевого (r < n). Определитель при неизвестных x1. x2. x4 отличен от нуля, поэтому их можно выбрать в качестве главных и переписать систему в виде:

    x1 + x2 - 3x4 = x5.

    -2x2 + 2x4 = -2x3 - x5.

    - 3x4 = - x5.

    Система имеет бесчисленное множество решений; если свободные неизвестные x3 и x5 не равны нулю одновременно, то и главные неизвестные отличны от нуля. Следовательно, векторное уравнение

    имеет коэффициенты, не равные нулю одновременно; пусть например, x5 = 6, x3 = 1. Тогда x4 =2, x2 = 6, x1 =6 и мы получим соотношение

    т.е. данная система векторов линейно зависима.

    Пример 2.19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

    Решение. Вычислим определитель матрицы A

    Итак, = ( l - 2) 2 × ( l +2) 2. Корни характеристического уравнения =0 - это числа l 1 = 2 и l 2 = -2. Другими словами, мы нашли собственные значения матрицы A. Для нахождения собственных векторов матрицы A подставим найденные значения l в систему (5.6): при l = 2 имеем систему линейных однородных уравнений

    x1 - x2                        = 0,                       x1 - x2                         = 0,

    x1 - x2                        = 0,            Þ            3x2 -7x3 - 3x4 = 0,

    3x1 -       7x3 - 3x4 = 0,                                    5x3 +  x4 = 0.

    Следовательно, собственному значению l = 2 отвечают собственные векторы вида a (8, 8, -3, 15), где a - любое отличное от нуля действительное число. При l = -2 имеем.

    и поэтому координаты собственных векторов должны удовлетворять системе уравнений

    x1 +3x2             = 0,

    x2             = 0,

    x3 +x4 = 0.

    Поэтому собственному значению l = -2 отвечают собственные векторы вида b (0, 0,-1, 1), где b - любое отличное от нуля действительное число.

    Хочу учиться - Деление многочлена на многочлен

    Условия деления:

    1) При делении многоч лены следует располагать по убывающим степеням.

    2) Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.

    3) Деление прекращается, когда степень остатка оказывается меньше степени делителя.

    Алгоритм деления:

    1) Все время производите деление на первый член делителя: первый раз делите на него первый член делимого, а в последующем – первый член остатка (остатков).

    —— = 2х 4–2 = 2x 2

    Мы получили первый член частного: 2x 2. Вписываем его в столбик:

    2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1 | х 2 – x + 1

    Шаг 2. Умножим полученное частное на делитель, как это обычно и делается при делении столбиком:

    2x 2 (х 2 – x + 1) = 2x 4 – 2x 3 + 2x 2

    Полученный результат пишем под делимым и производим вычитание. При этом к вычитаемому добавляем нули в соответствующих степенях и значениях, чтобы уменьшаемое и вычитаемое имели одинаковое количество членов (причину поймете во время дальнейших действий):

    2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1 | х 2 – x + 1

    2x 4 – 2x 3 + 2x 2 + 0 x + 0 | 2x 2

    Теперь произведем это вычитание отдельно, сводя подобные члены. При этом нули опустим (здесь в них нет смысла):

    (2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1) – (2x 4 – 2x 3 + 2x 2 ) = 2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1 – 2x 4 + 2x 3 – 2x 2 =

    = x 3 + 3x 2 – 8x + 1

    Мы получили первый остаток, а наш столбик обрел следующий вид:

    2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1 | х 2 – x + 1

    2x 4 – 2x 3 + 2x 2 + 0x + 0 | 2x 2

    ——————————

    Шаг 3. Делим первый член остатка на первый член делителя и получаем второй член частного:

    — = x 3–2 = x

    Вписываем его в наш столбик (добавляем к частному) со знаком +, так как х положительное число:

    2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1 | х 2 – x + 1

    2x 4 – 2x 3 + 2x 2 + 0x + 0 | 2x 2 + x

    ——————————

    x 3 + 3x 2 – 8x + 1

    Шаг 4. Теперь уже этот второй член частного умножаем на делитель (все по правилам деления в столбик):

    К полученному результату добавляем ноль и вписываем его в столбик:

    2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1 | х 2 – x + 1

    2x 4 – 2x 3 + 2x 2 + 0x + 0 | 2x 2 + x

    ——————————

    x 3 + 3x 2 – 8x + 1

    Снова производим вычитание:

    (x 3 + 3x 2 – 8x + 1) – (x 3 – x 2 + x) = x 3 + 3x 2 – 8x + 1 – x 3 + x 2 – x = 4x 2 – 9x + 1.

    Вписываем результат вычитания в столбик:

    2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1 | х 2 – x + 1

    2x 4 – 2x 3 + 2x 2 + 0x + 0 | 2x 2 + x

    ——————————

    x 3 + 3x 2 – 8x + 1

    x 3 – x 2 + x + 0

    ——————————

    Мы видим, что и этот остаток не равен нулю, и его степень не меньше степени делителя, а равна ей. Значит, деление продолжается.

    Шаг 5. Повторяем действие 3, но уже со вторым остатком – делим первый член второго остатка на первый член делителя и получаем третий член частного:

    — = 4

    Вписываем в столбик:

    2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1 | х 2 – x + 1

    2x 4 – 2x 3 + 2x 2 + 0x + 0 | 2x 2 + x + 4

    ——————————

    x 3 + 3x 2 – 8x + 1

    x 3 – x 2 + x + 0

    ——————————

    4x 2 – 9x + 1

    Шаг 6. Разумеется, повторяем действие 4, но уже с третьим членом частного – умножаем третий член частного на делитель:

    2x 4 – 2x 3 + 2x 2 + 0x + 0 | 2x 2 + x + 4

    ——————————

    Производим вычитание:

    (4x 2 – 9x + 1) – (4x 2 – 4x + 4) = 4x 2 – 9x + 1 – 4x 2 + 4x – 4 = –5x – 3.

    ——————————

    4x 2 – 9x + 1

    4x 2 – 4x + 4

    ——————————

    Степень этого числа меньше степени делителя – следовательно, процесс деления завершен. У нас получился результат с остатком.

    2х 4 – х 3 + 5х 2 – 8x + 1

    —————————— = 2x 2 + x + 4 (остаток –5x – 3)

    —————————— = 2x 2 + x + 4 + —————

    х 2 – x + 1 х 2 – x + 1